Avant de commencer, on pourra consulter la vidéo suivante :
On notera pour chaque exemple $a_nx^n$ le terme général de la série.
Posons $u_n=\frac{(1+i)^n z^{3n}}{n.2^n}$. Alors
$$\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{ n |1+i| |z|^3 }{2(n+1)}\to \frac{\sqrt{2} |z|^3}{2}=\frac{|z|^3}{\sqrt2}.$$
Ainsi, si $|z|^3<\sqrt{2}$, la série de terme général $|u_n|$ est convergente
d'après le critère de d'Alembert, alors qu'elle est divergente si $|z|^3>\sqrt{2}$.
On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est $\sqrt[6]{2}$.
En effectuant un développement limité, on trouve que
$a_n\sim \frac{1}{n}$ d'où $|a_nz^n|\sim \frac{|z|^n}{n}$. La suite $(|a_nz^n|)$ est donc bornée
si et seulement si $|z|\leq 1$. Le rayon de convergence de la série est 1.
On a $a_n\sim_{+\infty}\frac 1n$, donc $|a_nz^n|\sim\frac{|z|^n}{n}$ et la suite
$(|a_nz^n|)$ est bornée si et seulement si $|z|<1$. Le rayon de convergence de la série est donc égal à 1.
On applique à nouveau la règle de d'Alembert à $u_n=a^{\sqrt{n}}|z|^n$. On obtient
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=|z|a^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.$$
Or, $$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n}\big((1+1/n)^{1/2}-1)=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{2n}-1+o\left(\frac1n\right)\right)\to 0.$$
Ainsi, on obtient que
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}\to |z|a^0=|z|.$$
On en déduit que la série des modules converge absolument pour $|z|<1$ et diverge pour $|z|>1$. Le rayon de
convergence de la série entière est donc 1.
Pour $|z|<1$, on remarque que $|z|^{n!}\leq |z|^n$ et donc la série est convergente.
Pour $|z|\geq 1$, le terme général de la série ne tend pas vers 0 et la série est donc
grossièrement divergente. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est 1.
Pour $u_n=n^{\ln n}|z|^n$, on étudie la convergence en appliquant la règle de Cauchy :
$$\sqrt[n]{u_n}=n^{\ln n/n}|z|=\exp\big((\ln n\times\ln n)/n\big)|z|\to |z|.$$
La série est donc convergente pour $|z|<1$ et divergente pour $|z|>1$. Son rayon de
convergence vaut 1.
