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Fonction zeta - Bibm@th.net

Exercice 1

- Fonction zeta [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On appelle fonction $\zeta$ de Riemann la fonction de la variable $s\in\mathbb R$ définie par la formule $$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}.$$

Donner le domaine de définition de $\zeta$ et démontrer qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.
Prouver que $\zeta$ est continue sur son domaine de définition.
Déterminer $\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)$.
Montrer que pour tout entier $k\geq 1$ et tout $s>0$, on a $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^s}\leq\frac1{k^s}.$$ En déduire que $\zeta(s)\sim_{1^+}\frac{1}{s-1}$.
Démontrer que $\zeta$ est convexe.
Tracer la courbe réprésentative de $\zeta$.

Indication

Corrigé

La série définissant $\zeta(s)$ est une série de Riemann. Elle est convergente si et seulement si $s>1$. De plus, pour chaque $n\geq 1$, les fonctions $s\mapsto n^{-s}$ sont décroissantes, et même strictement décroissantes pour $n\geq 2$. Pour $1<s<t$, on a donc $$1+2^{-s}>1+2^{-t}\textrm{ et }\sum_{n\geq 3}\frac{1}{n^s}\geq\sum_{n\geq 3}\frac{1}{n^t}$$ (la deuxième inégalité n'est qu'une inégalité large car on passe à la limite). Ajoutant les deux inégalités, on en déduit que $$\zeta(s)>\zeta(t),$$ ce qui prouve que $\zeta$ est strictement décroissante.
Chaque fonction $s\mapsto n^{-s}$ est continue sur son domaine de définition. Il suffit de démontrer que la série de fonctions converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle du type $[a,+\infty[$, avec $a>1$, pour prouver que la fonction est continue sur $]1,+\infty[$. Or, pour tout $s\in[a,+\infty[$, on a $$\left|\frac{1}{n^s}\right|\leq\frac{1}{n^a},$$ et le terme de droite est le terme général d'une série numérique convergente. Ceci prouve la convergence normale de $f$ sur $[a,+\infty[$.
Puisque la série définissant $\zeta$ converge uniformément sur $[a,+\infty[$, on peut appliquer le théorème d'interversion des limites, et on obtient $$\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\lim_{s\to+\infty}\frac{1}{n^s}=1$$ car si $n\geq 2$, $n^{-s}\to 0$ si $s\to+\infty$ et $1^s=1$ pour tout $s>0.$
Pour $x\in[k,k+1]$, on a $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\frac{1}{x^s}\leq\frac{1}{k^s}.$$ En intégrant cette inégalité entre $k$ et $k+1$, on trouve $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\int_k^{k+1}\frac{dx}{x^s}\leq\frac{1}{k^s}.$$ On somme maintenant ces deux inégalités pour $k$ allant de $1$ à $+\infty$. On obtient $$\zeta(s)-1\leq \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^s}\leq \zeta(s).$$ Or, $$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^s}=\frac{1}{s-1}.$$ On obtient finalement : $$\frac{1}{s-1}\leq\zeta(s)\leq \frac{1}{s-1}+1$$ ou encore $$1\leq (s-1)\zeta(s)\leq 1+(s-1).$$ Par le théorème des gendarmes, $(s-1)\zeta(s)$ tend vers 1 lorsque $s$ tend vers 1. C'est bien que $\zeta(s)\sim_{1^+}\frac{1}{s-1}$. En particulier, $\lim_{s\to 1}\zeta(s)=+\infty$.
On va démontrer que $\zeta$ est de classe $C^2$ sur $]1,+\infty[$ et prouver que $\zeta''(s)\geq 0$ pour tout $s>1$. Pour prouver que $\zeta$ est dérivable sur $]1,+\infty[$, on prouve que la série dérivée converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$, $a>1$. Notons $f_n(s)=n^{-s}$, $n\geq 1$ et $s>1$. Alors $f_n'(s)=(-\ln n)n^{-s}$. Pour $s\in[a,+\infty[$, on a $$|f_n'(s)|\leq \frac{\ln n}{n^a}.$$ Or, le terme apparaissant à gauche est le terme général d'une série numérique convergente. En effet, pour $b\in]1,a[$, on a $$n^b \frac{\ln n}{n^a}\to 0\textrm{ et donc }\frac{\ln n}{n^a}=o(n^{-b}).$$ Comme $\sum_{n\geq 1}n^{-b}$ converge, il en est de même de la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\ln n}{n^a}$. Par théorème de dérivation d'une série de fonctions, on en déduit que $\zeta$ est $C^1$ sur tout intervalle $[a,+\infty[$, donc sur $]1,+\infty[$, et que sa dérivée $\zeta'$ vérifie $$\zeta'(s)=\sum_{n\geq 1}\frac{-\ln n}{n^{s}}.$$ De même, on prouve que $\zeta$ est de classe $C^2$ et que $$\zeta''(s)=\sum_{n\geq 1}\frac{(\ln n)^2}{n^s}.$$ Comme tous les termes apparaissant dans la série sont positifs, on en déduit que $\zeta''$ est positive. En particulier, $\zeta$ est convexe.