Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Série alternée - Bibm@th.net

Exercice 1

- Série alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $x>0$, on pose $\dis S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+nx}.$

Justifier que $S$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
Établir que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et déterminer $S'$.

Indication

Corrigé

On pose $u_n(x)=\frac{(-1)^n}{1+nx}$.

La série définissant $S$ converge d'après le critère des séries alternées. De plus, notant $R_n(x)$ le reste de la série, le critère des séries alternées donne également $$|R_n(x)|\leq \frac{1}{1+(n+1)x}.$$ Fixons maintenant $a>0$. Alors, pour tout $x\geq a$, $$|R_n(x)|\leq \frac 1{1+(n+1)x}\leq\frac1{1+(n+1)a}.$$ Ainsi, la suite $(|R_n(x)|)$ est majorée pour $x\in[a,\infty[$ par la suite $\left(\frac{1}{1+(n+1)a}\right)$, qui ne dépend pas de $x$, et qui tend vers 0. Ceci prouve la convergence uniforme de la série sur l'intervalle $[a,\infty[$. Comme chaque fonction est continue sur $[a,+\infty[$, il en est de même de $S$. Puisque $a>0$ est arbitraire, $S$ est continue sur $]0,+\infty[$.
Puisque la convergence est uniforme sur l'intervalle $[1,+\infty[$, on peut appliquer le théorème d'interversion limite/séries et on a $$\lim_{x\to +\infty}\sum_{n\geq 0}u_n(x)=\sum_{n\geq 0}\lim_{x\to+\infty}u_n(x)=\lim_{x\to+\infty}u_0(x)=1.$$ On pouvait également appliquer le critère des séries alternées, et encadrer la somme par les deux premières sommes partielles. On a donc, pour tout $x>0$, $$1-\frac1{1+x}\leq S(x)\leq 1.$$ Il suffit alors d'appliquer le théorème des gendarmes.
La série définissant $S$ converge simplement sur $]0,+\infty[$. Chaque fonction $u_n$ est de classe $C^1$ sur ce même intervalle, avec $$u_n'(x)=\frac{(-1)^{n+1}n}{(1+nx)^2}.$$ On fixe $a>0$ et on va démontrer la convergence uniforme de la série $\sum_{n\geq 0}u_n'(x)$ sur $[a,+\infty[$ en appliquant le critère des séries alternées. Soit $x\geq a$. On a après réduction au même dénominateur et simplification $$|u_n'(x)|-|u_{n+1}'(x)|=\frac{n(n+1)x^2-1}{(1+nx)^2(1+(n+1)x)^2}.$$ Soit $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour $n\geq n_0$, on ait $$n(n+1)a^2-1\geq 0.$$ Alors $n(n+1)x^2-1\geq 0$ et donc la série de terme général $u_n'(x)$ converge d'après le critère des séries alternées. De plus, si on note $T_n$ le reste de la série $\sum_n u_n'$, alors on a $$|T_n(x)|\leq \frac {n+1}{(1+(n+1)x)^2}\leq\frac {n+1}{(1+(n+1)a)^2}.$$ On conclut à la convergence uniforme comme à la première question. Donc, par les théorèmes généraux, $S$ est de classe $C^1$ sur $[a,+\infty[$. Comme $a>0$ est arbitraire, $S$ est $C^1$ sur $\mathbb R_+^*$. Sa dérivée est donnée par $S'(x)=\sum_{n\geq 0}u_n'(x)$.