Exemples et contre-exemples - Bibm@th.net
Enoncé
Pour $x\in I=[0,1]$, $a\in\mathbb R$ et $n\geq 1$, on pose $u_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
- Étudier la convergence simple sur $I$ de la série de terme général $u_n$. On notera dans la suite $S$ la somme de la série.
- Étudier la convergence normale sur $I$ de la série de terme général $u_n$.
- On suppose dans cette question que $a=0$. Calculer $S$ sur $[0,1[$. En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
- On suppose $a>0$. Démontrer que la convergence n'est pas uniforme sur $I$.