\'Etude qualitative - Bibm@th.net
Enoncé
Soit $(f_n)_{n\geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par
$\displaystyle f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n nx^2}.$
- Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
- Calculer $I_n=\int_0^1 f_n(t)dt$ et $\lim_{n\to+\infty}I_n$. En déduire que la suite $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$.
- Donner une démonstration directe du fait que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$.