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Régularité et décroissance des coefficients - avec indications - Bibm@th.net

Exercice 1 - Régularité et décroissance des coefficients - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application continue et $2\pi$-périodique.
  1. Démontrer que $(c_n(f))$ tend vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.
  2. On suppose que $f$ est $C^k$. Établir une relation entre les coefficients de Fourier de $f$ et ceux de $f^{(k)}$.
  3. En déduire que si $f$ est de classe $C^\infty$, alors $c_n(f)=o(1/n^k)$ pour tout entier $k$.
  4. Réciproquement, on suppose que $c_n(f)=o(1/n^k)$ quand $|n|\to+\infty$ pour tout entier $k$ et on pose $S(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)e^{inx}$.
    1. Calculer les coefficients de Fourier de $S$.
    2. Démontrer que $S$ est de classe $C^\infty$.
    3. En utilisant le théorème de Parseval, démontrer que deux fonctions continues qui ont les mêmes coefficients de Fourier sont égales.
    4. En déduire que $f=S$ et donc que $f$ est de classe $C^\infty$.
  5. Quel théorème a-t-on démontré dans cet exercice?
Indication
Corrigé