Soit $x,y\in\mathbb R$ et $\lambda\in[0,1]$. Alors on a par convexité de $f$ :
$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).$$
Par croissance de $g$, on en déduit que
$$g\circ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq g\big(\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\big).$$
La convexité de $g$ permet de conclure à
$$g\circ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda g\circ f(x)+(1-\lambda)g\circ f(y)$$
ce qui signifie bien que $g\circ f$ est convexe.
- Composée de fonctions convexes
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