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Calcul de l'intégrale de Gauss - Bibm@th.net

Exercice 1 - Calcul de l'intégrale de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer la valeur de l'intégrale de Gauss $$I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt.$$ On définit deux fonctions $f,g$ sur $\mathbb R$ par les formules $$f(x)=\int_0^x e^{-t^2}dt\textrm{ et }g(x)=\int_0^{1}\frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}dt.$$
  1. Prouver que, pour tout $x\in\mathbb R$, $g(x)+f^2(x)=\frac{\pi}{4}.$
  2. En déduire la valeur de $I$.
Indication
Corrigé