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Transformée de Fourier de la gaussienne - Bibm@th.net

Exercice 1 - Transformée de Fourier de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $a>0$, $F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}e^{-at^2}dt$.
  1. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $$F'(x)=\frac{-x}{2a}F(x).$$
  2. En déduire que pour tout $x$ réel, $F(x)=F(0)e^{-x^2/4a}$, puis que $$F(x)=\sqrt\frac\pi ae^{-x^2/4a}.$$
On rappelle que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt \pi$.
Indication
Corrigé