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Fraction rationnelle - Bibm@th.net

Exercice 1 - Fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x>0$, on pose $$I_n(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^n}.$$
  1. Justifier l'existence de $I_n(x)$.
  2. Calculer $I_1(x)$.
  3. Démontrer que $I_n$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et former une relation entre $I'_n(x)$ et $I_{n+1}(x)$.
  4. En déduire qu'il existe une suite $(\lambda_n)$ telle que, pour tout $x>0$, on a $$I_n(x)=\frac{\lambda_n}{x^{2n-1}}.$$ Que vaut $\lambda_n$?
Indication
Corrigé