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Comportement au bord! - Bibm@th.net

Exercice 1

- Comportement au bord! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $x>0$, on définit $$f(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos(t)}{t+x}dt.$$

Justifier que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]0,+\infty[$, et étudier les variations de $f$.
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
En utilisant $1-\frac {t^2}2\leq \cos t\leq 1$, valable pour $t\in[0,\pi/2]$, démontrer que $$f(x)\sim_{0^+}-\ln x.$$
Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$.

Indication

Corrigé

Posons $u(x,t)=\frac{\cos(t)}{t+x}$, définie et continue sur $]0,+\infty[\times [0,\pi/2]$. Pour tout $x\in\mathbb R_+^*$, la fonction $t\mapsto u(x,t)$ est intégrable sur $[0,\pi/2]$ (c'est une fonction continue sur un segment). Cette fonction admet une dérivée partielle par rapport à $x$ donnée par $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=\frac{-\cos(t)}{(t+x)^2}.$$ Cette dérivée partielle est elle-même continue sur $]0,+\infty[\times [0,\pi/2]$. De plus, fixons $[a,b]\subset ]0,+\infty[$ (en particulier, $a>0$). Alors pour tout $x\in [a,b]$ et tout $t\in [0,\pi/2]$, on a $$\left| \frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\right|\leq \frac{1}{(a+t)^2}$$ et cette dernière fonction est intégrable sur $[0,\pi/2]$. Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, on en déduit que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et que $$f'(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{-\cos(t)}{(t+x)^2}dt\leq 0.$$ Ainsi, $f$ est décroissante sur $]0,+\infty[$.
Il n'est pas besoin d'appliquer un théorème sophistiqué. Ici, on a en effet $$0\leq f(x)\leq\int_0^{\pi/2}\frac{1}{t+x}dt=\ln\left(\frac{x+\pi/2}x\right)\to 0.$$ Par le théorème d'encadrement, $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
Par encadrement, on a donc $$\int_0^{\pi/2}\frac 1{t+x}dt-\frac12\int_0^{\pi/2}\frac {t^2}{t+x}dt\leq f(x)\leq \int_0^{\pi/2}\frac 1{t+x}dt,$$ soit $$-\ln(x)+\ln(x+\pi/2)-\frac12\int_0^{\pi/2}\frac {t^2}{t+x}dt\leq f(x)\leq -\ln(x)+\ln(x+\pi/2).$$ Le seul terme qui pose encore problème est l'intégrale. Mais, on remarque que $$\int_0^{\pi/2}\frac {t^2}{t+x}dt\leq \int_0^{\pi/2}\frac{t^2}tdt=\frac{\pi^2}8.$$ Il vient $$-\ln(x)+\ln(x+\pi/2)-\frac{\pi^2}{16}\leq f(x)\leq -\ln(x)+\ln(x+\pi/2).$$ Il suffit ensuite de diviser par $-\ln x$ et de faire tendre $x$ vers 0 pour en déduire le résultat voulu.
Il suffit d'encadrer le plus simplement possible le dénominateur. En effet, on a $$\int_0^{\pi/2}\frac {\cos t}{x+\pi/2}dt\leq f(x)\leq \int_0^{\pi/2}\frac {\cos t}{x}dt.$$ Il vient $$\frac{1}{x+\pi/2}\leq f(x)\leq \frac 1x$$ et donc $$f(x)\sim_{+\infty}\frac 1x.$$