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Calcul d'une intégrale impropre par dérivation - Bibm@th.net

Exercice 1 - Calcul d'une intégrale impropre par dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}te^{-t}dt.$$
  1. Justifier que $F$ est bien définie sur $\mathbb R$.
  2. Justifier que $F$ est $\mathcal C^1$ et donner une expression de $F'(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$.
  3. Calculer $F'(x)$.
  4. En déduire une expression simplifiée de $F(x)$.
Indication
Corrigé