Sans le théorème d'intégration terme à terme - Bibm@th.net

Exercice 1 - Sans le théorème d'intégration terme à terme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

1. Pour $t\in ]0,1[$, écrire $\frac{t^{a-1}}{1+t^b}$ comme somme d'une série $\sum_{n\geq 0}u_n(t)$.
2. Déterminer la nature de la série $\sum_{n\geq 0}\int_0^1 |u_n(t)|dt$. Que peut-on en déduire?
3. On pose $S_N(t)=\sum_{n=0}^N u_n(t)$. Démontrer que $$\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt=\lim_{N\to+\infty}\int_0^1 S_N(t)dt.$$
4. En déduire que $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a+nb}=\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt$$ puis la valeur de $\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{3n+1}$.

Indication

1. Série géométrique.
2. Calculer l'intégrale!
3. Appliquer le théorème de convergence dominée.

Corrigé

1. Pour $t\in ]0,1[$, on reconnait dans $1/(1+t^b)$ la somme de la géométrique de premier terme $1$ et de raison $(-t)^b$. Ainsi, $$\frac{t^{a-1}}{1+t^b}=\sum_{n\geq 0}(-1)^n t^{a+nb-1}.$$
2. On a $$\int_0^1 t^{a+nb-1}dt=\frac{1}{a+nb}$$ et donc la série $$\sum_{n\geq 0} \int_0^1 t^{a+nb-1}dt$$ est divergente puisque son terme général est équivalent à $1/nb$. On ne peut donc pas appliquer le théorème d'intégration terme à terme.
3. On va néanmoins appliquer le théorème de convergence dominée. En effet, pour tout $t\in ]0,1[$, $S_N(t)$ converge vers $t^{a-1}/(1+t^b)$. De plus, on a $$\left|S_N(t)\right|=\left|t^{a-1}\frac{1-(-1)^{N+1}t^{(N+1)b}}{1+t^b}\right|\leq \frac{2t^{a-1}}{1+t^b}.$$ Or, la fonction $t\mapsto t^{a-1}/(1+t^b)$ est intégrable sur $]0,1[$. Elle est en effet continue sur $]0,1]$ et en $0$, elle est équivalente à $t^{a-1}$ qui est intégrable au voisinage de $0$ (intégrale de Riemann). Le théorème de convergence dominée nous dit donc que : $$\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt=\int_0^1 \lim_{N\to+\infty}S_N(t)dt=\lim_{N\to+\infty}\int_0^1 S_N(t)dt.$$
4. On calcule la dernière intégrale. En reprenant le calcul effectué à la question 2, on trouve exactement le résultat demandé. En particulier, pour $a=1$ et $b=3$, on a $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\int_0^1 \frac{1}{t^3+1}.$$ Pour calculer cette dernière intégrale, on peut décomposer la fraction rationnelle en éléments simples ou demander à un logiciel de calcul formel comme Xcas. On trouve $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\frac{\ln 2}3+\frac{\pi\sqrt 3}9.$$