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Théorème de convergence dominée - 1 - Bibm@th.net

Exercice 1

- Théorème de convergence dominée - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, des suites suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \left(\int_0^{\pi/4}(\tan t)^n dt\right)&\quad\quad&\mathbf 2. \displaystyle\left(\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^n}\right)\\ \mathbf 3. \displaystyle\left(\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x/n}}{1+x^2}dx\right)&\quad\quad& \mathbf 4. \displaystyle\left(\int_0^1 f(t^n)dt\right),\ f:[0,1]\to\mathbb R\textrm{ continue}. \end{array}$$

Indication

Corrigé

Dans chaque cas, on va appliquer le théorème de convergence dominée.

Pour tout $t\in [0,\pi/4[$, on a $(\tan t)^n \to 0$ car $\tan t\in [0,1[$. De plus, pour tout $t\in [0,\pi/4[$, on a $|\tan t|\leq 1$ et la fonction constante égale à 1 est une fonction intégrable sur $]0,\pi/4[$. Toutes les fonctions invoquées étant continues par morceaux, on en déduit que $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\pi/4} (\tan t)^n dt=\int_0^{\pi/4} 0dt=0.$$ Remarquons que le fait que $\big((\tan (\pi/4))^n\big)$ ne tende pas vers 0 ne pose pas de problèmes. Il suffit d'avoir la convergence simple sur l'intervalle ouvert.
Remarquons que l'intégrale considérée converge pour $n\geq 2$ par comparaison à une intégrale de Riemann. Pour tout $t>1$, on a $$\frac{1}{1+t^n}\xrightarrow{n\to+\infty}0.$$ De plus, pour $n\geq 2$ et $t\geq 1$, on a $$\left|\frac{1}{1+t^n}\right|\leq \frac 1{1+t^2}.$$ La fonction à droite de l'inégalité est intégrable sur $[1,+\infty[$. On en déduit par le théorème de convergence dominée que $$\lim_{n\to+\infty}\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+t^n}dt=0.$$ Remarquons qu'on peut aussi très bien prouver ce fait sans utiliser le théorème de convergence dominée. En effet, il suffit d'écrire, pour $n\geq 2$ et $t\geq 1$, $$0\leq\frac{1}{1+t^n}\leq \frac{1}{t^n}.$$ On intègre cette inégalité entre $1$ et $+\infty$ pour trouver $$0\leq \int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^n}\leq \frac{1}{n-1}$$ et on conclut par le théorème des gendarmes.
Soit $x\in ]0,+\infty[$. Alors $\frac{-x}n\to 0$ si $n\to+\infty$ et par composition des limites $\exp(-x/n)\to \exp(0)=1$ si $n\to+\infty$. On a donc, pour tout tout $x\in ]0,+\infty[$, $$\lim_{n\to+\infty}\frac{\exp(-x/n)}{1+x^2}=\frac 1{1+x^2}.$$ De plus, soit $x\in ]0,+\infty[$ et $n\geq 1$. Alors $-x/n\leq 0$ et donc $\exp(-x/n)\leq 1.$ Donc, pour tout $x\in]0,+\infty[$ et tout $n\geq 1$, $$\left|\frac{\exp(-x/n)}{1+x^2}\right|\leq \frac 1{1+x^2}.$$ Or, la fonction $x\mapsto \frac1{1+x^2}$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. En effet, elle est continue sur $[0,+\infty[$ et $\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\sim_{+\infty}\frac 1{x^2}.$ Donc $$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{\exp(-x/n)}{1+x^2}dx=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\left[\arctan(x)\right]_0^{+\infty}=\frac\pi 2.$$
Pour tout $t\in [0,1[$, $(t^n)$ tend vers $0$ et donc, par continuité de $f$, $(f(t^n))$ tend vers $f(0)$. L'hypothèse de domination dans le théorème de convergence dominée est un peu plus subtile à obtenir, mais le raisonnement est très classique. On remarque que, puisque $f$ est continue sur $[0,1]$, elle y est bornée, disons par $M\geq 0$. Mais alors, pour tout $t\in ]0,1[$, on a $$|f(t^n)|\leq M$$ et $M$ (qui est une constante) est intégrable sur l'intervalle borné $]0,1[$. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée et on trouve que $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 f(t^n)dt=\int_0^1 f(0)dt=f(0).$$