\'Equivalent de la queue de la gaussienne - Bibm@th.net

Exercice 1 - Équivalent de la queue de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

1. Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
2. Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{e^{-x^2}}{2x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}dt.$$
3. En déduire un équivalent simple de $\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Indication

1. Comparer avec $t^2$.
2. Intégrer par parties.
3. Appliquer le théorème d'intégration des relations de comparaison pour "éliminer" la dernière intégrale dans l'égalité de la question précédente.

Corrigé

1. La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $[0,+\infty[$. De plus, $\lim_{t\to+\infty}t^2e^{-t^2}=0$ et donc par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge.
2. Il suffit d'intégrer par parties en écrivant que $$e^{-t^2}=\frac{-1}{2t}\times \big(-2te^{-t^2}\big),$$ et en intégrant $-2te^{-t^2}$.
3. On sait que $$\frac{e^{-t^2}}{2t^2}=_{+\infty}o\left(e^{-t^2}\right).$$ Par intégration des relations de comparaison (les fonctions étant positives et intégrables), on en déduit que $$\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}=_{+\infty}o\left(\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt\right).$$ On en déduit, en reprenant le résultat de la deuxième question, que $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt\sim_{+\infty}\frac{e^{-x^2}}{2x}.$$ Remarquons que même si l'on ne connait pas le théorème d'intégration des relations de comparaison, il est très facile de prouver que $$\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}=_{x\to +\infty}o\left(\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt\right).$$ En effet, pour tout $t\geq x$, on a $$0\leq \frac{e^{-t^2}}{2t^2}\leq \frac{e^{-t^2}}{2x^2}$$ d'où l'on tire que $$0\leq \int_x^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{2t^2}dt\leq \frac{1}{2x^2}\int_x^{+\infty} e^{-t^2}dt$$ ce qui montre immédiatement le résultat voulu puisque $1/2x^2$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.