Enoncé Déterminer la série de Fourier de la fonction périodique de période $2\pi$ définie par $f(x)=x^2$ pour $-\pi\leq x\leq \pi$. En déduire la somme des séries $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$, $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2},\ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}$.
Indication Le calcul des coefficients de Fourier se fait par intégration par parties. Appliquer ensuite le théorème de Dirichlet, et trouver les deux premières sommes en prenant des valeurs particulières pour $x$. Pour la troisième somme, on pourra appliquer le théorème de Parseval.
Corrigé La fonction $f$ est paire, ses coefficients en sinus sont nuls, et on a :
$$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2dx=\frac{\pi^2}{3},$$
$$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^2\cos(nx)dx.$$
La calcul de $a_n$ se fait par une double intégration par parties, et on trouve :
$$a_n=(-1)^n\frac{4}{n^2}.$$
Maintenant, $f$ est continue et $C^1$ par morceaux : cette fonction est somme de sa série de Fourier pour tout réel, et on a donc, pour tout $x$ dans $[-\pi,\pi]$,
$$x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n}}{n^2}\cos(nx).$$
Si l'on fait $x=\pi$, on obtient :
$$\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}.$$
On obtient exactement :
$$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$$
Si l'on fait $x=0$, on obtient cette fois :
$$\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}.$$
Pour calculer la dernière somme demandée, il faut pouvoir mettre les coefficients au carré, et c'est ce que l'on obtient dans l'égalité de Parseval, que l'on peut appliquer ici puisque $f$ est continue :
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x^4dx=\frac{\pi^4}{9}+\frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{16}{n^4}.$$
Ceci donne :
$$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{8}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right)=\frac{\pi^4}{90}.$$