$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@thConvergence et convergence absolue - Bibm@th.net
Enoncé 
- Montrer que les intégrales impropres $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ et $\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}tdt$ sont convergentes.
On souhaite prouver que la fonction $\frac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable, c'est-à-dire que
$\int_1^{+\infty}\left|\frac{\sin t}t\right|dt$ diverge.
- Méthode 1. Prouver que, pour tout $t\in\mathbb R$, $|\sin t|\geq \frac{1-\cos 2t}{2}$. En déduire le résultat.
- Méthode 2. Prouver que, pour tout $k\in\mathbb N$,
$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\frac{1}{(k+1)\pi}\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$
Retrouver alors le résultat.
Indication 
- Intégrer par parties.
- $|\sin t|\geq\sin^2 t$, puis utiliser la question précédente.
- Minorer $1/t$ sur l'intervalle considéré, puis utiliser la périodicité de $|\sin t|$.
Corrigé
- C'est classique. On intègre par parties, en intégrant le sinus et en dérivant $1/t$ pour augmenter l'exposant au dénominateur. On obtient, pour $X>1$,
\begin{eqnarray*}\int_1^X\frac{\sin t}{t}dt&=&\left[\frac{-\cos t}t\right]_1^X-\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt\\
&=&-\frac{\cos X}X+\frac{\cos 1}1-\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt.
\end{eqnarray*}
Lorsque $X\to+\infty$, $\frac{\cos X}X$ tend vers 0. De plus, on a
$$\left|\frac{\cos t}{t^2}\right|\leq\frac1{t^2}$$
et le terme à droite de l'inégalité est intégrable sur $[1,+\infty[$. En particulier, $\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt$ admet
une limite lorsque $X$ tend vers $+\infty$. On en conclut qu'il en est de même de $\int_1^X\frac{\sin t}tdt$.
Le raisonnement pour le cosinus est tout à fait semblable.
- Il suffit de remarquer que, puisque $|\sin t|\leq 1$, on a
$$|\sin t|\geq\sin^2 t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.$$
On en déduit, pour $X\geq 1$, que
$$\int_1^X\frac{|\sin t|}tdt\geq\int_1^X\frac{1}{2t}dt-\int_1^X\frac{\cos 2t}{2t}dt.$$
Or, on sait que $\int_1^X\frac{1}{2t}dt$ tend vers $+\infty$ lorsque $X$ tend vers $+\infty$ et
que, d'après la question précédente, $\int_1^X\frac{\cos 2t}{2t}dt$ admet une limite (finie)
lorsque $X$ tend vers $+\infty$. On en déduit que
$\int_1^X\frac{|\sin t|}{t}dt$ tend vers $+\infty$ lorsque $X$ tend vers $+\infty$.
- Pour $t\in[k\pi,(k+1)\pi]$, on a
$$\frac{1}{t}\geq\frac{1}{(k+1)\pi}.$$
Intégrant cette inégalité et utilisant la $\pi$-périodicité de $|\sin t|$, on en déduit que
$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{(k+1)\pi}dt=\frac{1}{(k+1)\pi}\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$
En sommant ces intégrales pour $k$ allant de $0$ à $n$, et par la relation de Chasles, on trouve
$$\int_0^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)\pi}\right)\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$
Puisque la suite $\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)\pi}$ diverge vers $+\infty$ et que $\int_0^{\pi}|\sin t|dt\neq 0$, on en déduit que
$$\int_0^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\to+\infty.$$
Ceci reprouve la divergence de l'intégrale.
