Enoncé 
Une fonction $f$ définie sur une partie $A\subset\mtr^n$ à valeurs dans $\mathbb R^n$ est dite localement lipschitzienne si,
pour tout $x\in A$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ et une constante $C>0$ telle que :
$$\forall (y,z)\in V_x^2,\ \|f(y)-f(z)\|\leq C\|y-z\|.$$
Montrer qu'une fonction localement lipschitzienne sur une partie compacte $K$ de $\mathbb R^n$
est en fait lipschitzienne.
Corrigé 
On commence par observer qu'une fonction localement lipschitzienne est continue. Ensuite, on raisonne par l'absurde
et on suppose que $f$ n'est pas lipschitzienne sur $K$. Pour chaque entier $n$, on peut donc trouver
deux éléments $y_n$ et $z_n$ de $K$ tels que
$$\|f(y_n)-f(z_n)\|>n \|y_n-z_n\|.$$
En particulier, $y_n\neq z_n$.
Remarquons que, puisque $f$ est bornée (elle est continue sur le compact $K$), disons par $M$,
on a
\begin{eqnarray}
\|y_n-z_n\|\leq \frac{2M}n
\end{eqnarray}
et donc $\|y_n-z_n\|\to 0$.
D'autre part, puisqu'elle vit dans le compact $K$, la suite $(y_n)$ admet une sous-suite
$(y_{\phi(n)})$ qui converge vers $x\in K$. Puisque $\|y_{\phi(n)}-z_{\phi(n)}\|\to 0$, il en est de même pour $(z_{\phi(n)})$.
Mais on sait que $f$ est localement lipschitzienne en $x$ et donc il existe $C>0$ et un voisinage $V_x$ de $x$ tels que
$$\forall (y,z)\in V_x^2,\ \|f(y)-f(z)\|\leq C\|y-z\|.$$
Pour $n$ assez grands, $y_\phi(n)$ et $z_{\phi(n)}$ sont éléments de $V_x^2$. On en déduit
$$n\|y_{\phi(n)}-z_{\phi(n)}\|<\|f(y_{\phi(n)})-f(z_{\phi(n)})\|\leq C \|y_{\phi(n)}-z_{\phi(n)}\|.$$
Faisant tendre $n$ vers $+\infty$, c'est manifestement une contradiction puisque $y_{\phi(n)}\neq z_{\phi(n)}$ pour tout $n\geq 1$.
