Enoncé Soient $K,L$ deux parties compactes d'un espace vectoriel normé $E$. On pose $K+L=\{x+y;\ x\in K,\ y\in L\}$. Démontrer que $K+L$ est une partie compacte de $E$.
Corrigé Soit $(z_n)$ une suite de $K+L$. Alors pour chaque $n$, $z_n$ s'écrit $z_n=x_n+y_n$ avec $x_n\in K$ et $y_n\in L$. La suite $(x_n)$ est une suite de $K$ : elle admet donc une suite extraite $(x_{\phi(n)})$ qui converge vers $x\in K$. De plus, la suite $(y_{\phi(n)})$ est une suite de $L$. Elle admet donc une suite extraite $(y_{\psi(n)})$ qui converge vers $y\in L$. Comme la suite $(x_{\psi(n)})$ est extraite de $(x_{\phi(n)})$, elle converge également vers $x$. Ainsi, la suite $(z_{\psi(n)})$ converge vers $x+y\in K+L$. Ce dernier ensemble est bien compact. Remarquons ici l'importance de procéder à des extractions successives.