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Étude de l'opérateur d'intégration - Bibm@th.net

Exercice 1 - Étude de l'opérateur d'intégration ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ que l'on munit de la norme $$\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt,\ f\in E.$$ Soit $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $$\phi(f)(x)=\int_0^x f(t)dt.$$

Justifier la terminologie : "$\phi$ est un endomorphisme de $E$."
Démontrer que $\phi$ est continue.
Pour $n\geq 0$, on considère $f_n$ l'élément de $E$ défini par $f_n(x)=ne^{-nx}$, $x\in[0,1]$. Calculer $\|f_n\|_1$ et $\|\phi(f_n)\|_1$.
Déterminer $\|\phi\|_{\textrm{op}}$.
$\phi$ est-elle injective? surjective?
Quelles sont les valeurs propres de $\phi?$

Indication

Corrigé

$\phi$ est clairement une application linéaire, et il faut juste rappeler que $\phi(f)$, comme primitive d'une fonction continue, est elle-même continue (et même $C^1$).
On a $$|\phi(f)(x)|\leq \int_0^x |f(t)|dt\leq \int_0^1 |f(t)|dt\leq \|f\|_1.$$ On en déduit que $$\|\phi(f)\|_1\leq \int_0^1 \|f\|_1dt\leq \|f\|_1.$$ Ainsi, $\phi$ est continue.
On a $\phi(f_n)(x)=\int_0^x ne^{-nt}dt=1-e^{-nx}$. En particulier, $\|f_n\|_1=\phi(f_n)(1)=1-e^{-n}$. De plus, $$\|\phi(f_n)\|_1=\int_0^1 (1-e^{-nx})dx=1-\frac{1-e^{-n}}{n}.$$
D'après la question 2, pour tout $f\in E$, $$\|\phi(f)\|_1\leq \|f\|_1,$$ et donc $\|\phi\|_{\textrm{op}}\leq 1$. De plus, on a $$\|\phi(f_n)\|_1\leq \|\phi\|_{\textrm{op}} \|f_n\|_1\implies \left(1-\frac{1-e^{-n}}{n}\right) \leq (1-e^{-n}) \|\phi\|_{\textrm{op}}.$$ Passant à la limite dans cette inégalité, on conclut que $\|\phi\|_{\textrm{op}}\geq 1$, ce qui prouve finalement que $\|\phi\|_{\textrm{op}}=1$.
On commence par remarquer que $\phi$ n'est pas surjective. En effet, $\phi(f)$ est de classe $\mathcal C^1$ pour tout $f\in E$, et il existe des fonctions de $E$ qui ne sont pas $\mathcal C^1$ sur $[0,1]$, par exemple la fonction $x\mapsto\left|x-\frac 12\right|.$ En revanche, $\phi$ est injective. En effet, si $\phi(f)=0,$ alors pour tout $x\in[0,1],$ $$\int_0^x f(t)dt=0.$$ En dérivant cette égalité, on trouve $f(x)=0$ pour tout $x\in[0,1]$ et donc $f=0.$
Soit $\lambda\in\mathbb R\backslash\{0\}.$ On va démontrer que $\lambda$ n'est pas une valeur propre de $\phi.$ Si $f\in E$ vérifie $\phi(f)=\lambda f,$ alors pour tout $x\in [0,1],$ $$\int_0^x f(t)dt=\lambda f(x).$$ Ceci prouve que $f$ est dérivable et en dérivant la relation précédente, on trouve que, pour tout $x\in[0,1],$ $$f(x)=\lambda f'(x).$$ Ainsi, il existe $C\in\mathbb R$ tel que $f(x)=Ce^{x/\lambda}$ pour tout $x\in[0,1].$ Mais on doit avoir $f(0)=\phi(f)(0)=0,$ et donc $C=0$. Ainsi, $f=0$ et $\lambda$ n'est pas valeur propre de $f$. On vient donc de prouver que $\phi$ n'admet pas de valeurs propres (ce qui est possible car $E$ est de dimension infinie).