Enoncé
- Montrer qu'une suite $(u_n)$ de réels ne tend pas vers $+\infty$ si et seulement si on peut en extraire une suite majorée.
- Montrer que, de toute suite $(q_n)$ d'entiers naturels qui ne tend pas vers $+\infty$, on peut extraire une suite constante.
- Soit $x$ un irrationnel et $(r_n)$ une suite de rationnels convergeant vers $x$. Pour tout entier $n$, on écrit $r_n=\frac{p_n}{q_n}$ avec $p_n\in\mathbb Z$ et $q_n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $(q_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
- Construire par récurrence sur $n$ des entiers $\phi(n)$ tels que
$$\phi(n+1)>\phi(n)\textrm{ et }u_{\phi(n)}\leq M$$
où $M$ est obtenu en niant le fait que $(u_n)$ tende vers $+\infty$.
- Appliquer la question précédente. Que dire d'une suite d'entiers ne prenant qu'un nombre fini de valeurs?
- Appliquer la question précédente, et en déduire qu'une sous-suite de $(p_n)$ est convergente.
Corrigé
- Supposons d'abord que $(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$. Il existe donc un réel $M>0$ tel que, pour tout $N\in\mathbb N$, il existe $p\geq N$ avec $u_p\leq M$. On va construire par récurrence sur $n$ des entiers $\phi(n)$ tels que, pour tout entier $n$,
$$\phi(n+1)>\phi(n)\textrm{ et }u_{\phi(n)}\leq M.$$
Pour $n=0$, on applique la proposition avec $N=0$ et on pose $\phi(0)=p$. Supposons $\phi(n)$ construit, et
posons $N=\max(\phi(0),\dots,{\phi(n)})+1$. Alors il existe $p>N$ tel que $u_p\leq M$. On pose $\phi(n+1)=p$ qui vérifie bien $\phi(n+1)> \phi(n)$.
Mais alors la suite $(u_{\phi(n)})$ est bien une suite extraite de $(u_n)$, car l'application
$\phi:\mathbb N\to\mathbb N$ est strictement croissante. De plus, par construction, elle est majorée par $M$.
Réciproquement, supposons qu'il existe une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ majorée par $M$. Alors, pour tout $N\in\mathbb N$, si on pose $p=\phi(N)\geq N$, on a $u_p=u_{\phi(N)}\leq M$ et donc $(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$.
- On applique la question précédente. Il existe une suite extraite de $(q_n)$ qui est majorée par un certain réel $M$. Mais alors, cette suite extraite ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, $0,1,\dots,\lfloor M\rfloor$. On peut donc encore extraire de cette suite extraite une suite constante.
- Si la suite $(q_n)$ ne tend pas vers $+\infty$, on peut en extraire une sous-suite $(q_{\phi(n)})$ qui est constante égale à un certain $q$. On a alors $(r_\phi(n))$ qui tend vers $x$, donc $(p_{\phi(n)})=(qr_{\phi(n)})$ qui tend vers $qx$. On a ainsi une suite d'entiers qui converge. Elle est forcément stationnaire et sa limite ne peut être qu'un entier. Mais ici, la limite de $(p_{\phi(n)})$ est un irrationnel, $qx$. On a donc une contradiction.