Inégalités sur les normes - Bibm@th.net
Enoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé.
- Démontrer que, pour tous $x,y\in E$, on a $$\|x\|+\|y\|\leq \|x+y\|+\|x-y\|.$$ En déduire que $$\|x\|+\|y\|\leq 2\max(\|x+y\|,\|x-y\|).$$ La constante $2$ peut elle être améliorée?
- On suppose désormais que la norme est issue d'un produit scalaire. Démontrer que, pour tous $x,y\in E$, on a $$(\|x\|+\|y\|)^2\leq \|x+y\|^2+\|x-y\|^2.$$ En déduire que $$\|x\|+\|y\|\leq \sqrt 2\max(\|x+y\|,\|x-y\|).$$ La constante $\sqrt 2$ peut elle être améliorée?