Une première condition nécessaire sur $A$ apparaît en remarquant qu'il faut que $\|P\|_A<+\infty$ pour tout $P\in\mathbb R[X]$. C'est en particulier vrai pour le polynôme $P(X)=X$ et donc il est nécessaire que $A$ soit bornée. Une seconde condition nécessaire apparaît quand on écrit que $\|P\|_A=0\implies P=0$. Supposons en effet que $A=\{a_1,\dots,a_n\}$ soit fini. Alors prenons $P(X)=(X-a_1)\cdots (X-a_n)$. Alors on a $\|P\|_A=0$ et pourtant $P\neq 0$.
Réciproquement, prouvons que si $A$ est une partie infinie bornée, alors $\|\cdot\|_A$ définit une norme sur $\mathbb R[X]$. D'une part, puisque $A$ est bornée, il existe $M>0$ tel que $A\subset [-M,M]$. Mais pour tout $P\in\mathbb R[X],$ $P$ est continue, donc bornée sur $[-M,M]$. Ainsi $P$ est bornée sur $A$, et donc $\|P\|_A$ est bien défini et cette quantité est un réel positif ou nul.
D'autre part, vérifions les trois propriétés de la définition d'une norme :
- On a toujours, pour tout $\lambda\in\mathbb R$ et tout polynôme $P\in\mathbb R[X]$, $\sup_{x\in A}|\lambda P(x)|=|\lambda|\times \sup_{x\in A}|P(x)|$ et donc $\|\lambda P\|_A=|\lambda|\times \|P\|_A.$
- Si $\|P\|_A=0$, alors $P$ admet une infinité de racines, et donc $P$ est le polynôme nul.
- Soient $P,Q\in\mathbb R[X]$. Alors, pour tout $x\in A$,
$$|P(x)+Q(x)|\leq |P(x)|+|Q(x)|\leq \|P\|_A+\|Q\|_A.$$
En passant au sup, on obtient que $\|P+Q\|_A\leq \|P\|_A+\|Q\|_A.$
En conclusion, $\|\cdot\|_A$ définit une norme sur $\mathbb R[X]$ si et seulement si $A$ est une partie infinie bornée.
