Enoncé 
On désire fabriquer une boite ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus.
Le volume de cette boite doit être égal à $0,5m^3$ et pour optimiser la quantité de mâtière utilisée, on désire
que la somme des aires des faces soit aussi petite que possible. Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite?
Indication 
Notons $x,y,z$ les trois dimensions. On doit minimiser une fonction de trois variables en $x,y$ et $z$, sous la contrainte
de $xyz=0,5$. On peut donc remplacer $z$ par son expression en fonction de $x$ et de $y$, et rechercher le minimum d'une fonction de deux variables.
Corrigé Notons $x,y$ et $z$ les trois dimensions de la boite. Son volume est donc $xyz=0,5$. On désire minimiser la fonction
$$f(x,y,z)=xy+2xz+2yz$$
(on a enlevé la face du dessus). Remplaçant $z$ par $1/2xy$, on doit donc chercher le minimum de la fonction de deux variables
$$g(x,y)=xy+\frac 1x+\frac 1y$$
sur l'ouvert $U=]0,+\infty[\times ]0,+\infty [$. Les dérivées partielles de $g$ sont
$$\frac{\partial g}{\partial x}=y-\frac 1{x^2}\textrm{ et }\frac{\partial g}{\partial y}=x-\frac 1{y^2}.$$
On vérifie alors sans peine que le seul point critique de $g$ sur l'ouvert $U$ est $(1,1)$. Reste maintenant à prouver
que $g$ admet bien un minimum global en $(1,1)$ sur $U$. Pour cela, on peut remarquer que $g(1,1)=3$. De plus,
si $x<1/3$ ou $y<1/3$, alors $g(x,y)>3=g(1,1)$. On en déduit que
$$\inf\{g(x,y);\ (x,y)\in U\}=\inf\{g(x,y);\ (x,y)\in A\}$$
où $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x\geq 1/3\textrm{ et }y\geq 1/3\}.$
Mais de plus, si $(x,y)\in A$ vérifie $x> 3$ ou $y> 3$, alors $g(x,y)\geq 3=g(1,1)$. On en déduit que
$$\inf\{g(x,y);\ (x,y)\in U\}=\inf\{g(x,y);\ (x,y)\in K\}$$
où $K=[1/3,3]\times [1/3,3].$ Or $K$ est compact et $g$ est continue sur $K$, donc on sait que $g$ admet un minimum sur $K$. Ce
minimum sur $K$ est aussi le minimum de $g$ sur $U$. Or, $g$ ne peut admettre qu'un minimum en un point critique.
Donc $g$ admet un minimum en $(1,1)$. Ceci signifie que les trois dimensions sont $x=1$, $y=1$ et $z=1/2$.
