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Extrema sur un compact - Bibm@th.net

Exercice 1

- Extrema sur un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour chacun des exemples suivants, démontrer que $f$ admet un maximum sur $K$, et déterminer ce maximum.

$f(x,y)=xy(1-x-y)$ et $K=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x,y\geq 0,\ x+y\leq 1\};$
$f(x,y)=x-y+x^3+y^3$ et $K=[0,1]\times [0,1]$;
$f(x,y)=\sin x\sin y\sin(x+y)$ et $K=[0,\pi/2]^2$.

Indication

Corrigé

$K$ est un ensemble fermé et borné (c'est un triangle). C'est donc une partie compacte de $\mathbb R^2$. De plus, la fonction $f$ étant polynomiale, elle est continue sur ce compact, donc elle y est majorée et elle atteint sa borne supérieure. Le maximum peut être atteint :
- ou bien en un point du bord de $K$;
- ou bien en un maximum local de $f$ situé à l'intérieur de $K$.
Ici, on remarque que si $(x,y)$ appartient à la frontière de $K$, alors ou bien $x=0$, ou bien $y=0$, ou bien $x+y=1$. Dans tous les cas, on a $f(x,y)=0$ alors que $f(1/4,1/4)>0$. Ainsi, le maximum ne peut être atteint qu'en un point à l'intérieur de $K$. On cherche donc les points critiques de $f$. Pour cela, on calcule $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y(1-2x-y)\textrm{ et }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x(1-x-2y).$$ Un point critique situé à l'intérieur de $K$ vérifie $$\left\{ \begin{array}{rcl} 1-2x-y&=&0\\ 1-x-2y&=&0. \end{array}\right.$$ Le seul point critique situé à l'intérieur de $K$ est donc $(1/3,1/3)$. Comme un maximum local ne peut être atteint qu'en un point critique, c'est donc que $f$ admet son maximum sur $K$ en $(1/3,1/3)$. Ce maximum est égal à $1/27$.
Le début du raisonnement est tout à fait similaire. Ensuite, on remarque que $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=1+3x^2>0.$$ Ainsi, $f$ ne peut pas admettre de point critique, et donc le maximum de $f$ sur $K$ ne peut être atteint qu'en un point du bord de $K$. Il suffit ensuite d'étudier le comportement de $f$ sur le bord de $K$. On a d'une part $f(x,0)=x+x^3$ qui atteint son maximum en $(1,0)$, maximum valant $2$. On a ensuite $f(x,1)=x+x^3$, qui atteint son maximum valant 2 en $(1,1)$. On a ensuite $f(0,y)=-y+y^3\leq 2$ si $y\in[0,1]$, et $f(1,y)=2-y+y^3\leq 2$. Ainsi, le maximum de $f$ sur $K$ est égal à 2.
Le début du raisonnement est identique. On cherche ensuite les points critiques appartenant à l'intérieur de $K$, l'ouvert $U=]0,\pi/2[^2$ en remarquant que $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sin y \sin(2x+y)\textrm{ et }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\sin x\sin(x+2y)$$ (on a utilisé la célèbre formule $\sin(a+b)=\sin a \cos b+\sin b\cos a$). Un point $(x,y)$ de $U$ est un point critique si et seulement si on a $$\left\{\begin{array}{rcl} \sin(2x+y)&=&0\\ \sin(x+2y)&=&0. \end{array}\right.$$ Puisque $x+2y\in ]0,3\pi/2[$, on a nécessairement $$\left\{\begin{array}{rcl} 2x+y&=&\pi\\ x+2y&=&\pi. \end{array}\right.$$ Ainsi, le point $(\pi/3,\pi/3)$ est le seul point critique de $f$ dans $U$. On a $f(\pi/3,\pi/3)=\frac{3\sqrt 3}{8}$. On étudie maintenant $f$ sur le bord de $K$, ie on étudie $f(0,t)$, $f(t,0)$, $f(\pi/2,t)$ et $f(t,\pi/2)$ pour $t\in [0,\pi/2]$. On remarque que $f(0,t)=f(t,0)=0$ et par symétrie du rôle joué par $x$ et $y$, on peut se restreindre à l'étude de $f(\pi/2,t)$. Mais, $$f(\pi/2,t)=\sin t\sin(t+\pi/2)=\sin t\cos t=\frac 12\sin(2t),$$ dont le maximum pour $t\in[0,\pi/2]$ vaut $1/2$. Comme $\frac 12\leq \frac{3\sqrt 3}8$, on en déduit que $f$ admet pour maximum sur $K$ la valeur $\frac{3\sqrt 3}8$.