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Exercice 1

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Enoncé

Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\}$.

Représenter $D$ et trouver une paramétrisation de $\Gamma$, le bord de $D$.
Justifier que $f$ admet un maximum et un minimum sur $D$.
Déterminer les points critiques de $f$.
Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.

Indication

Corrigé

Le domaine $D$ est délimité par les deux paraboles d'équation $y=1-x^2$ et $y=x^2-1$. Son bord $\Gamma$ comporte deux parties : la partie "haute", paramétrée par $y=1-x^2$, $-1\leq x\leq 1$, et la partie basse, paramétrée par $y=x^2-1$, $-1\leq x\leq 1$.
Le domaine $D$ est borné; c'est très clair si on se réfère au dessin. Pour une preuve complète, on peut remarquer que si $(x,y)\in D$, alors on doit avoir $x^2-1\leq 1-x^2$, et donc $x^2\leq 1\iff x\in[-1,1]$. Cela impose ensuite $y\in[-1,1]$. $D$ est de plus clairement fermé. C'est une partie compacte de $\mathbb R^2$ et $f$ est une fonction continue sur $D$. $f$ admet donc un minimum et un maximum sur $D$.
Pour déterminer les points critiques de $f$, on calcule d'abord les dérivées partielles du premier ordre. On trouve : $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2xy+2x=2x(1-y)\textrm{ et }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-x^2.$$ Un point $(x,y)$ est un point critique si $(x,y)=(0,0)$ ou si $(x,y)$ est solution du système $$\left\{\begin{array}{rcl} 1-y&=&0\\ 2y&=&x^2. \end{array}\right.$$ On en déduit assez facilement que $f$ admet trois points critiques qui sont $(0,0)$, $(-\sqrt 2,1)$ et $(\sqrt 2,1)$. Remarquons que seul $(0,0)$ est dans $D$.
On va étudier la paramétrisation du bord de $D$ obtenue précédemment. Précisément, posons $g(x)=f(x,1-x^2)$, pour $x\in[-1,1]$ et $h(x)=f(x,x^2-1)$ pour $x\in [-1,1]$. Les études de $g$ et $h$ vont nous permettre de déterminer les extrema de $f$ sur $\Gamma$. On a, après simplifications, \begin{eqnarray*} g(x)&=&1-2x^2+2x^4\\ h(x)&=&1. \end{eqnarray*} Il suffit donc d'étudier $g$, et par parité, on peut se restreindre à l'étudier sur $[0,1]$. En calculant la dérivée, on voit facilement que $g$ est décroissante sur $[0,1/\sqrt 2]$ et est croissante sur $[1/\sqrt 2,1]$. De plus, $g(0)=g(1)=1$ et $g(1/\sqrt 2)=1/2$. On en déduit que le minimum de $f$ sur $\Gamma$ est $1/2$, et son maximum est $1$.
Les extrema de $f$ sur $D$ sont ou bien atteints sur le bord, ou bien atteints en un extrémum local de $f$ situé dans $D$, donc en un point critique de $f$ dans $D$. Puisque $f(0,0)=0$, on en déduit que $f$ admet 0 comme minimum sur $D$, et $1$ comme maximum.