Enoncé 
Soient $f,g$ deux endomorphismes du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $f$ est diagonalisable. Démontrer que $f$ et $g$ commutent si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
Corrigé 
D'abord si $f$ et $g$ commutent, on sait que $\ker(P(f))$ est stable par $g$ pour tout polynôme $P$, en particulier pour les polynômes $P(X)=X-\lambda$. Ainsi, chaque sous-espace propre de $f$ est stable par $g$. Réciproquement, on suppose que $g$ laisse stable tous les sous-espaces propres de $f$. Soit $E_\lambda$ un tel sous-espace propre et soit $x\in E_\lambda$. Alors d'une part
$$g(f(x))=g(\lambda x)=\lambda g(x)$$
et d'autre part, puisque $g(x)\in E_\lambda$ on a aussi
$$f(g(x))=\lambda g(x).$$
Autrement dit, si $x\in E_\lambda$, on a $f(g(x))=g(f(x))$. Maintenant, comme $f$ est diagonalisable, $E$ est somme directe des sous-espaces propres de $f$. Écrivant tout $x\in E$ comme somme de $x_i$, où $x_i\in E_{\lambda_i}$, on prouve que $f(g(x))=g(f(x))$ et donc que $g$ et $f$ commutent.
