On commence par remarquer que $L$ est une symétrie : $L^2(P)=P$ pour tout polynôme $P$. Ainsi, $L$ est diagonalisable, et ses seules valeurs propres possibles pour $L$ sont donc $1$ et $-1$.
Cherchons maintenant les vecteurs propres associés. Il est facile de voir que, pour $\lambda=\pm 1$, le polynôme $X^k+\lambda X^{n-k}$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$. On distingue alors deux cas :
- $n=2p+1$ est impair. Alors pour $k=0,\dots,p$, on pose
$$P_k(X)=X^k+X^{n-k}\textrm{ et }Q_k(X)=X^k-X^{n-k}.$$
Alors les familles $(P_k)_{k=0,\dots,p}$ et $(Q_k)_{k=0,\dots,p}$ sont deux familles libres
(car elles sont à degré étagé) constituées de vecteurs propres associés respectivement à $1$ et $-1$. Les deux espaces propres associés étant en somme directe, la réunion des deux familles
est encore une famille libre de $\mathbb R_{n}[X]$, constituée de $2(p+1)=n+1$ vecteurs.
C'est donc une base de $\mathbb R_n[X]$ constituée de vecteurs propres pour $L$.
- $n=2p$ est pair. Le raisonnement est similaire. Simplement, cette fois,
on ne peut plus considérer le polynôme $Q_p$ qui est nul. Mais les familles $(P_k)_{k=0,\dots, p}$ et $(Q_k)_{k=0,\dots,p-1}$ sont encore des familles libres de vecteurs propres dont la réunion est une base de $\mathbb R_n[X]$ (il y a cette fois $p+1+p=2p+1=n+1$ vecteurs).
