Soit $\lambda\in\mathbb R$ et $M\in\mathcal M_n(\mathbb R),\ M\neq 0$ tel que $\phi(M)=\lambda M$. Les termes diagonaux
donnent $m_{i,i}=\lambda m_{i,i}$ pour $1\leq i\leq n$, les termes non-diagonaux donnent $m_{i,j}=\lambda m_{j,i}$, pour $1\leq i\neq j\leq n$.
On en déduit que $m_{i,j}=\lambda^2 m_{i,j}$ pour tous les couples $(i,j)$. Ceci entraîne que $\lambda=\pm 1$. On distingue plusieurs cas.
- Si $\lambda=-1$, tous les coefficients sur la diagonale sont égaux à $0$ et on a $m_{i,j}=-m_{j,i}$. On en déduit que $-1$ est une valeur
propre de $\phi$, les vecteurs propres appartenant à $\textrm{vect}(f_{i,j};\ 1\leq j<i\leq n)$ avec $f_{i,j}=E_{i,j}-E_{j,i}$.
L'espace propre associé est donc de dimension $n(n-1)/2$.
- Si $\lambda=1$, on n'a plus de contraintes sur les éléments diagonaux, et $m_{i,j}=m_{j,i}$ pour les éléménts non-diagonaux.
On en déduit que $1$ est valeur propre, les vecteurs propres étant éléments de $\textrm{vect}(E_{i,i},g_{i,j};\ 1\leq j<i\leq n)$,
avec $g_{i,j}=E_{i,j}+E_{j,i}$. L'espace propre associé est donc de dimension $n+n(n-1)/2=n(n+1)/2$.
Finalement, puisque
$\frac{n(n-1)}2+\frac{n(n+1)}2=n^2=\dim(\mathcal M_n(\mathbb R))$, $\phi$ est bien diagonalisable.
Bibm@th
