Corrigé 
Le polynôme caractéristique de $A$ est $\chi_A(X)=(X-1)^3$. $1$ est la seule racine de ce polynôme, et comme $A\neq I_3$, $A$ n'est pas diagonalisable. Cherchons l'espace propre associé à la valeur propre 1. Notons $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$. On a $(x,y,z)\in \ker(f-I)\iff y+z=0$. L'espace propre associé est donc de dimension 2, de base $(u_1,u_2)$ avec $u_1=(1,0,0)$ et $u_2=(0,1,-1)$. On cherche ensuite un troisième vecteur $u_3$ tel que $f(u_3)=u_2+u_3$. Posons $u_3=(x,y,z)$. Alors
$$f(u_3)=u_2+u_3\iff \left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&x\\
-z&=&1+y\\
y+2z&=&-1+z
\end{array}\right.
\iff
z=-1-y.
$$
Posons alors $u_3=(0,0,-1)$. Il est clair que la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est une base de $\mathbb R^3$ et dans cette base, la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ est $B$. Donc $A$ est semblable à $B$.
