Corrigé 
On calcule le polynôme caractéristique de $A$ et on trouve
$$P_A(X)=(X-1)(X+8).$$
Les racines du polynôme caractéristique de $A$ sont toutes dans $\mathbb R$ et toutes distinctes.
$A$ est donc diagonalisable. Il existe donc une matrice inversible $P$ telle que $A=PDP^{-1}$, avec
$$D=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-8
\end{array}\right).$$
Pour prouver l'existence d'une matrice $B$ telle que $B^3=A$, l'idée est de d'abord faire la même chose avec $D$. Mais si
$$M=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-2
\end{array}\right)$$
alors on a $M^3=D$. Posons $B=PMP^{-1}$. Alors
$$B^3=PM^3P^{-1}=PDP^{-1}=A.$$
Remarquons que l'énoncé de l'exercice ne demande pas de calculer $B$...
Bibm@th
