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Procédons d'abord avec $A$. Son polynôme caractéristique vaut $$\chi_A(X)=(X-1)(X-2)(X+4).$$ Il est scindé à racines simples, ce qui assure que $A$ est diagonalisable. Il suffit de chercher pour chaque valeur propre un vecteur propre associé. D'abord pour $1,$ on pose $u=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ on résout $Au=u$, c'est-à-dire le système : $$\left\{ \begin{array}{rcl} -x+2y-z&=&0\\ 3x-3y&=&0\\ -2x+2y&=&0 \end{array} \right.$$ Ce système est équivalent à $x=y=z$ et un vecteur propre est donc donnée par $\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$. On fait de même pour $2$ et $-4,$ et on trouve respectivement $\left(\begin{array}{c}4\\3\\-2\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}2\\-3\\2\end{array}\right)$. La matrice $A$ s'écrit donc $A=PDP^{-1}$ avec $$D=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&-4 \end{pmatrix}$$ et $$P=\left(\begin{array}{ccc} 1&4&2\\ 1&3&-3\\ 1&-2&2 \end{array} \right).$$ Poursuivons avec $B$ dont on calcule le polynôme caractéristique : $$P_B(X)=X^3-5X^2+8X-4.$$ $1$ est racine évidente, on factorise par $X-1$ et finalement on trouve $$\chi_B(X)=(X-1)(X-2)^2.$$ On cherche le sous-espace propre associé à $1$ en résolvant, avec les mêmes notations, $Bu=u$, c'est-à-dire le système : $$\left\{ \begin{array}{rcl} -x+3y+2z&=&0\\ -2x+4y+2z&=&0\\ 2x-3y-z&=&0 \end{array} \right.$$ Ce système est équivalent à $x=y=-z$. Ainsi, le sous-espace propre associé à $1$ est de dimension $1,$ engendré par le vecteur propre $\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)$. L'étude du sous-espace propre associé à $2$ conduit au système : $$\left\{ \begin{array}{rcl} -2x+3y+2z&=&0\\ -2x+3y+2z&=&0\\ 2x-3y-2z&=&0 \end{array} \right.$$ Ces trois équations se ramènent à $2x-3y-2z=0$, qui est l'équation d'un plan de $\mtr^3$. Le sous-espace propre associé à $2$ est donc de dimension $2,$ et une base est donnée par les vecteurs $\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$. La matrice $B$ s'écrit donc $B=PDP^{-1}$ avec $$B=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$$ et $$P=\left(\begin{array}{ccc} 1&3&1\\ 1&2&0\\ -1&0&1 \end{array} \right).$$ Le polynôme caractéristique de $C$ est $\chi_C(X)=-(1-X)^2(2-X)$. On procède exactement comme précédemment, et on trouve que $(u_1,u_2)$ forme une base de l'espace propre associé à la valeur propre $1,$ avec $u_1=(1,1,0)$ et $u_2=(0,1,1)$ et que $(u_3)$ forme une base de l'espace propre associé à la valeur propre $2,$ avec $u_3=(0,0,1)$. Ainsi, $C$ s'écrit $C=PDP^{-1}$ avec $D$ la matrice diagonale $$D=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{array}\right)$$ et $$P=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{array}\right).$$