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Éléments nilpotents - Bibm@th.net

Exercice 1 - Éléments nilpotents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un élément $x$ d'un anneau $A$ est dit nilpotent s'il existe un entier $n\geq 1$ tel que $x^n=0$. On suppose que $A$ est commutatif, et on fixe $x,y$ deux éléments nilpotents.
  1. Montrer que $xy$ est nilpotent.
  2. Montrer que $x+y$ est nilpotent.
  3. Montrer que $1_A-x$ est inversible.
  4. Dans cette question, on ne suppose plus que $A$ est commutatif. Soit $u,v\in A$ tels que $uv$ est nilpotent. Montrer que $vu$ est nilpotent.
Indication
Corrigé