Ordre du produit de deux éléments - Bibm@th.net
Enoncé
Soit $G$ un groupe abélien, $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordres respectifs $p$ et $q$.
- On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Démontrer que $xy$ est d'ordre $pq$.
- Importance des hypothèses - 1 : Si $H=GL_2(\mathbb R)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&-1\end{array}\right)$, vérifier que $A$ et $B$ sont d'ordre fini, mais que $AB$ n'est pas d'ordre fini.
- Importance des hypothèses - 2 : Si $p$ et $q$ ne sont pas supposés premiers entre eux, démontrer que le produit $xy$ n'est pas nécessairement d'ordre $pq$, ou d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$.
- Une application :
- Soit $d$ un diviseur de $p$. Démontrer qu'il existe un élément d'ordre $d$ dans $G$.
- En déduire que $G$ admet des éléments d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$.
- On suppose de plus que $G$ est fini. Démontrer que $G$ admet un élément dont l'ordre est le ppcm de l'ordre des éléments de $G$.