Tirage avec remises - Bibm@th.net

Il n'est pas facile de calculer directement $P(X=k)$. En revanche, il est beaucoup plus facile de calculer $P(X\geq k)$. En effet, on a $X\geq k$ si et seulement si tous les tirages ont amené un nombre supérieur ou égal à $k$. La probabilité qu'un tirage amène un nombre supérieur ou égal à $k$ valant $\frac{N-k+1}N$ et les tirages étant indépendants, on a $$P(X\geq k)=\frac{(N-k+1)^n}{N^n}.$$ On déduit $P(X=k)$ par la formule $$P(X=k)=P(X\geq k)-P(X\geq k+1)=\frac{(N-k+1)^n-(N-k)^n}{N^n}.$$ La démarche est similaire pour $Y$, mais cette fois on calcule $P(Y\leq k)$ qui vaut $$P(Y\leq k)=\frac{k^n}{N^n}.$$ Il vient $$P(Y=k)=P(Y\leq k)-P(Y\leq k-1)=\frac{k^n -(k-1)^n }{N^n}.$$