Corrigé 
Il n'est pas facile de calculer directement $P(X=k)$. En revanche, il est beaucoup plus facile de calculer $P(X\geq k)$. En effet, on a $X\geq k$ si et seulement si tous les tirages ont amené un nombre supérieur ou égal à $k$. La probabilité qu'un tirage amène un nombre supérieur ou égal à $k$ valant
$\frac{N-k+1}N$ et les tirages étant indépendants, on a
$$P(X\geq k)=\frac{(N-k+1)^n}{N^n}.$$
On déduit $P(X=k)$ par la formule
$$P(X=k)=P(X\geq k)-P(X\geq k+1)=\frac{(N-k+1)^n-(N-k)^n}{N^n}.$$
La démarche est similaire pour $Y$, mais cette fois on calcule $P(Y\leq k)$ qui vaut
$$P(Y\leq k)=\frac{k^n}{N^n}.$$
Il vient
$$P(Y=k)=P(Y\leq k)-P(Y\leq k-1)=\frac{k^n -(k-1)^n }{N^n}.$$
