Enoncé 
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé fini $\Omega$. On suppose qu'elles sont deux à deux indépendantes, qu'elles ont même espérance $m$ et même variance $\sigma^2$. On pose $S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$,
$$P(|S_n-m|\geq\veps)\to 0.$$
Indication 
Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Corrigé On a $E(S_n)=m$, et, puisque les variables aléatoires sont deux à deux indépendantes,
$$V(S_n)=\frac 1{n^2}\sum_{k=1}^n V(X_k)=\frac{\sigma^2}n.$$
On applique ensuite l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $S_n$ :
$$0\leq P(|S_n-m|\geq \veps)\leq \frac{V(S_n)}{\veps^2}=\frac{\sigma^2}{n\veps^2}.$$
Par le théorème des gendarmes, ceci tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
