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Recrutement - Bibm@th.net

Exercice 1 - Recrutement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une entreprise souhaite recruter un cadre. $n$ personnes se présentent pour le poste. Chacun d'entre eux passe à tour de rôle un test, et le premier qui réussit le test est engagé. La probabilité de réussir le test est $p\in ]0,1[$. On pose également $q=1-p$. On définit la variable aléatoire $X$ par $X=k$ si le $k$-ième candidat qui passe le test est engagé, et $X=n+1$ si personne n'est engagé.
  1. Déterminer la loi de $X$.
  2. En dérivant la formule donnant $\sum_{k=0}^n x^k$, calculer $\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$ pour $x\neq 1$.
  3. En déduire l'espérance de $X$.
  4. Quelle est la valeur minimale de $p$ pour avoir plus d'une chance sur deux de recruter l'un des candidats?
Indication
Corrigé