Dans chaque cas, on va plutôt étudier la probabilité d'obtenir l'événement complémentaire.
- La probabilité de n'obtenir aucun $6$ est $\left(\frac 56\right)^n$. La probabilité d'obtenir au moins un six est donc $1-\left(\frac 56\right)^n$.
- Soit $A$ l'événement "obtenir au maximum une fois le chiffre 6". Alors $A$ est la somme des événements disjoints $A_0$="ne jamais obtenir six" et $A_1$="obtenir exactement $1$ fois le chiffre 6". On a $P(A)=P(A_0)+P(A_1)$. De plus, $P(A_0)$ a été calculé à la question précédente :
$$P(A_0)=\left(\frac 56\right)^n.$$
Calculons désormais $P(A_1)$. On commence par choisir le lancer où on a obtenu le chiffre 6. Il y a $\binom n1=n$ tels choix. Ce lancer fixé, la suite de lancers a une probabilité valant $\frac 16\times\left(\frac 56\right)^{n-1}$ de se réaliser. On en déduit que
$$P(A_1)=\binom n1\times\frac 16\times\left(\frac 56\right)^{n-1}.$$
Finalement, la probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 vaut
$$1-\left(\frac 56\right)^n-\binom n1\times\frac 16\times\left(\frac 56\right)^{n-1}.$$
- On généralise la méthode précédente. Notons $A_j$ la probabilité d'obtenir exactement $j$ fois le chiffre 6. La probabilité recherchée est
$$1-P(A_0)-P(A_1)-\dots-P(A_{k-1}).$$
Mais, pour calculer $P(A_j)$ on détermine d'abord la place des $j$ chiffres $6$ : il y a $\binom nj$ tels choix. Ce choix fait, la suite de lancers a une probabilité égale à $\left(\frac 16\right)^j\left(\frac 56\right)^{n-j}$ de se réaliser. On a donc
$$P(A_j)=\binom nj\left(\frac 16\right)^j\left(\frac 56\right)^{n-j}.$$
On conclut finalement que la probabilité d'obtenir au moins $k$ fois le chiffre $6$ vaut
$$1-\sum_{j=0}^{k-1}\binom nj\left(\frac 16\right)^j\left(\frac 56\right)^{n-j}.$$
