Corrigé 
Le coefficient binomial $\dbinom{n+1}{p+1}$ désigne le nombre de
parties à $p+1$ éléments dans l'ensemble $\{0,\dots,n\}$ qui a $n+1$ éléments. Soit $E$ une telle partie, et $k$ le plus grand
entier qu'elle contient. Puisque la partie contient $p+1$ éléments, on a $k\geq p$. De plus, cet élément choisi, il reste $p$
éléments à choisir dans l'ensemble $\{0,\dots,k-1\}$ qui contient $k$ éléments, c'est-à-dire qu'il reste $\dbinom{k}{p}$ choix.
Une autre méthode pour démontrer cette propriété est de procéder par récurrence sur $n$. La formule est clairement vraie pour $n=0$
(ce qui implique $p=0$). Supposons la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire que pour tout $p\leq n$, la formule donnée est vérifiée.
Prouvons-la au rang $n+1$. Pour cela, prenons $p\leq n+1$. Si $p\leq n$, alors on a
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=p}^{n+1}\dbinom{k}{p}&=&\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}+\dbinom{n+1}{p}\\
&=&\dbinom{n+1}{p+1}+\dbinom{n+1}{p}\textrm{ (hypothèse de récurrence)}\\
&=&\dbinom{n+2}{p+1}\textrm{ (formule du triangle de Pascal)}.
\end{eqnarray*}
Si $p=n+1$, la formule est aussi vérifiée. La propriété est donc aussi vraie au rang $n+1$.
On peut aussi démontrer la formule par "télescopage" en remarquant que, pour $k>p$, on a
$$\binom kp =\binom{k+1}{p+1}-\binom{k}{p+1}$$
et donc que
\begin{align*}
\sum_{k=p}^{n}\binom k p&=\binom p p+\sum_{k=p+1}^{n}\left(\binom{k+1}{p+1}-\binom{k}{p+1}\right)\\
&=1+\binom{n+1}{p+1}-\binom{p+1}{p+1}\\
&=\binom{n+1}{p+1}.
\end{align*}
Bibm@th
