Corrigé 
$\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)$ est le nombre de parties à $n$ éléments
dans un ensemble à $2n$ éléments. Pour compter ce nombre de parties, on peut aussi diviser l'ensemble
en deux sous-ensembles contenant chacun $n$ éléments. Pour obtenir $n$ éléments, on peut en prendre
$k$ dans le premier, ie $\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)$ choix, et $n-k$
dans le deuxième, soit $\left(\begin{array}{c}n\\n-k\end{array}\right)$ choix. On a donc :
$$\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)=\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}n\\n-k\end{array}\right)=\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)^2$$
puisque $\left(\begin{array}{c}n\\n-k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)$.
On peut aussi démontrer ce résultat sans dénombrement en remarquant que $\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)$ est le coefficient
devant $X^n$ du polynôme $(X+1)^{2n}$. On retrouve l'autre valeur en écrivant $(X+1)^{2n}=(X+1)^n (X+1)^n$
et en identifiant.
Bibm@th
