Développement asymptotique de la série harmonique - Bibm@th.net

Exercice 1 - Développement asymptotique de la série harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$.

1. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$.
2. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite.
3. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$.
4. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)$.

Indication

1. Comparer à une intégrale, c'est-à-dire utiliser que $$\frac{1}{k+1}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t}\leq\frac1{k}.$$
2. Faire un développement limité de $v_n$ pour étudier sa convergence. Puis relier la somme partielle de $v_n$ à $u_n$.
3. On pourra comparer à une intégrale.
4. A la question précédente, on a trouvé un équivalent de $t_n$. En déduire un équivalent du reste en utilisant le théorème de sommation des relations de comparaison. On revient à $w_n$ en remarquant que $\sum_{k=n}^N t_n=w_{N+1}-w_n$.

Corrigé

1. Puisque la fonction $t\mapsto\frac1t$ est décroissante, on a, pour tout $k\geq 2$, \begin{eqnarray}\label{EQHARMONIQUE} \int_{k}^{k+1} \frac{dt}{t}\leq \frac1k\leq \int_{k-1}^k \frac{dt}t. \end{eqnarray} Sommant cette relation pour $k$ allant de $2$ à $n$, puis ajoutant 1, on obtient : $$1+\int_{2}^{n+1}\frac{dt}{t}\leq H_n\leq 1+\int_1^n \frac{dt}{t}.$$ Calculant l'intégrale, on trouve : $$1+\ln(n+1)-\ln(2)\leq H_n\leq \ln(n)+1.$$ On en déduit que $H_n/\ln n\to 1$, et donc $H_n\sim \ln n$.
2. Nous avons \begin{eqnarray*} v_n&=&H_{n+1}-\ln(n+1)-H_n+\ln(n)\\ &=&\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln(n)\\ &=&\frac{1}{n+1}+\ln\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=&\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)^2}+o\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right) \end{eqnarray*} ce qui démontre que $v_n\sim_{+\infty}-\frac{1}{2(n+1)^2}$. On en déduit que la série $\sum_n v_n$ est convergente. De plus, revenant à la définition $v_n=u_{n+1}-u_n$, on voit que les sommes partielles se télescopent et que $$\sum_{k=1}^{n}v_k=u_{n+1}-u_1.$$ Ainsi, la suite $(u_n)$ est convergente.
3. On reprend la même méthode que pour prouver la divergence de la série harmonique, à savoir que l'on compare à une intégrale. En effet, pour tout $k$, on a : $$\int_k^{k+1}\frac{dt}{t^2}\leq \frac1{k^2}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^2}.$$ Sommant cette inégalité pour $k$ allant de $n$ à $+\infty$, on trouve $$\frac{1}{n}=\int_n^{+\infty}\frac{dt}{t^2}\leq R_n\leq \int_{n-1}^{+\infty}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{(n-1)}.$$ On trouve finalement $ R_n\sim_{+\infty} \frac{1}{n}$.
4. Soit donc $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$. On sait que $(w_n)\to 0$. D'autre part, on a : $$t_n=w_{n+1}-w_n=-\frac{1}{2(n+1)^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)$$ d'après la question 2., soit $t_n\sim \frac{-1}{2n^2}.$ On applique le critère de comparaison des séries à termes positifs : la série de terme général $t_n$ est convergente, et on a $$\sum_{k=n}^{+\infty}\big(w_{k+1}-w_k\big)\sim_{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{-1}{2k^2}.$$ Or, puisque $(w_n)$ tend vers 0, on a $$\sum_{k=n}^N\big( w_{k+1}-w_k\big)=w_{N+1}-w_n\to -w_n\textrm{ pour }N\to+\infty.$$ Ainsi, utilisant le résultat de la question précédente, on trouve $$-w_n\sim_{+\infty}-\frac{1}{2n},\textrm{ ce qui s'écrit aussi }w_n=\frac{1}{2n}+o\left(\frac 1n\right).$$ Ceci est bien le résultat demandé.