Corrigé On écrit que, pour tout $x\in ]-1,1[$,
$$\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$$
On dérive cette égalité (on a bien une somme finie) :
$$\sum_{k=1}^n kx^{k-1}=\frac{-(n+1)x^n(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}.$$
On multiplie par $x\in ]-1,1[$, puis on fait tendre $n$ vers l'infini. On trouve que
$$\sum_{k=1}^n kx^k=x\frac{-(n+1)x^n(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}\to \frac{x}{(1-x)^2}$$
(on a utilisé que $nx^n \to 0$). Ceci prouve à la fois la convergence de la série et le fait que
$$\sum_{k=1}^{+\infty}kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}.$$