Corrigé 
On a affaire à une série télescopique un peu compliquée. Les simplifications se font sur l'écriture de 3 termes consécutifs. Précisément, on a
\begin{eqnarray*}
S_n&=&\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{\sqrt{k-1}}-\frac{2}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\\
&=&\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}-2\sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt k}+\sum_{k=3}^{n+1} \frac 1{\sqrt{k}}\\
&=&1-\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{1}{\sqrt n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
\end{eqnarray*}
On prouve donc que la série converge, et que sa somme fait : $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
On aurait aussi pu séparer la série en deux séries télescopiques, en écrivant
$$u_n=\left(\frac 1{\sqrt{n-1}}-\frac 1{\sqrt n}\right)-\left(\frac 1{\sqrt n}-\frac 1{\sqrt{n+1}}\right).$$
