Corrigé 
On se ramène à une somme en remarquant que
$$\ln(n!)=\sum_{k=1}^n \ln(k)$$
Puisque la fonction $\ln$ est croissante, on a pour tout $k\geq 2$,
$$\int_{k-1}^k \ln(t)dt\leq\ln(k)\leq\int_k^{k+1}\ln(t)dt.$$
On somme cette inégalité pour $k$ allant de $2$ à $n$ et, remarquant que $\ln(1)=0$, on trouve
$$\int_1^n \ln(t)dt\leq \ln(n!)\leq \int_2^{n+1}\ln(t)dt.$$
Une primitive de $\ln(x)$ étant donnée par $x\ln x-x$, on trouve que
$$n\ln n-n+1\leq \ln(n!)\leq (n+1)\ln(n+1)-(n+1)-2\ln2+2.$$
On divise par $n\ln n$ pour prouver que $\ln(n!)\sim_{+\infty}n\ln n.$ La seule chose non évidente à vérifier est que
$$\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}\to 1.$$
Pour cela, on écrit
$$\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}=\frac{n\ln(n+1)+\ln(n+1)}{n\ln n}=\frac{\ln(n)+\ln\left(1+\frac 1n\right)}{\ln n}+\frac{\ln n+\ln\left(1+\frac 1n\right)}{n\ln n}.$$
Bibm@th
