Transformation d'Abel - Bibm@th.net
Enoncé
On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série
$\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$.
- Montrer que, pour tout $(p,q)\in\mathbb N^2$ tel que $p\leq q$, on a : $$\sum_{k=p}^q u_kv_k=s_qv_q-s_{p-1}v_p+\sum_{k=p}^{q-1}s_k(v_k-v_{k+1}).$$
- Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeurs dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente.
- Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$.