Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Transformation d'Abel - Bibm@th.net

Exercice 1 - Transformation d'Abel ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série $\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$.

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a : $$\sum_{k=1}^n u_kv_k=s_nv_n-s_{0}v_1+\sum_{k=1}^{n-1}s_k(v_k-v_{k+1}).$$
Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeurs dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente.
Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$.

Indication

Corrigé

On écrit successivement : \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n u_kv_k&=&\sum_{k=1}^n (s_{k}-s_{k-1})v_k\\ &=&\sum_{k=1}^n s_{k}v_k-\sum_{k=1}^n s_{k-1} v_k\\ &=&\sum_{k=1}^{n}s_kv_{k}-\sum_{k=0}^{n-1} s_k v_{k+1}\\ &=&\sum_{k=1}^{n-1} s_k(v_k-v_{k+1})+s_nv_n-s_{0}v_{1}. \end{eqnarray*}
On commence par remarquer que, puisque $(s_n)$ est une suite bornée et $(v_n)$ est une suite qui converge vers $0,$ alors $(s_nv_n)$ converge également vers $0.$ Il suffit donc de prouver la convergence de la série $\sum_k s_k(v_k-v_{k-1})$. On va prouver la convergence absolue. Pour cela, on remarque que, pour tout $n\geq 1,$ si on note $M$ un majorant de la suite $(|s_n|)_n,$ \begin{align*} \sum_{k=1}^n |s_k(v_k-v_{k+1})|&\leq M\sum_{k=1}^n (v_k-v_{k+1})\textrm{ car la suite $(v_n)$ est décroissante}\\ &\leq M(v_1-v_{n+1})\\ &\leq Mv_1. \end{align*} Ainsi, les sommes partielles de $\sum_k |s_k(v_k-v_{k-1})|$ sont majorées, ce qui prouve la convergence absolue, donc la convergence, de la série $\sum_k s_k(v_k-v_{k-1})$.
En utilisant la question précédente, il suffit de prouver que la suite $(S_n)$ définie par $$S_n=\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$$ est bornée. Pour cela, on écrit $\sin(k\theta)=\Im m(e^{ik\theta})$ et on utilise la somme d'une série trigonométrique : $$\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)=\Im m\left(\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}\right).$$ Mais on a, pour $\theta\notin2\pi\mathbb Z$, \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n e^{ik\theta}&=&\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}\\ &=&\frac{e^{i\frac{(n+1)}{2}\theta}}{e^{i\theta/2}}\times\frac{e^{-i(n+1)\theta/2}-e^{+i(n+1)\theta/2}}{e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}}\\ &=&e^{in\theta/2}\frac{\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \end{eqnarray*} Revenant à $S_n$, on trouve, pour $\theta\notin2\pi\mathbb Z$, $$S_n=\frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$ Ceci est bien bornée indépendamment de $n$ par $\frac{1}{|\sin(\theta/2)|}$. Si $\theta\in2\pi\mathbb Z$, alors bien sûr $S_n=0$.