Une erreur classique... - Bibm@th.net

Exercice 1 - Une erreur classique... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

1. Démontrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
2. Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+o\left(\frac 1{n}\right)$.
3. Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
4. Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?

Indication

1. Ceci est une conséquence directe du critère des séries alternées.
2. Faire un développement limité en mettant $\sqrt n$ en facteur au dénominateur.
3. Le terme général de la série s'écrit comme la somme de 2 suites. La série associée à l'une de ces suites est convergente et l'autre est divergente. Que conclure?
4. On a deux séries dont les termes généraux sont équivalents.

Corrigé

1. Ceci est une conséquence directe du critère des séries alternées. La série est alternée, et la valeur absolue du terme général décroît vers zéro.
2. On écrit que \begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}&=&\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\times\frac{1}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}}\\ &=&\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\left(1-\frac{(-1)^n}{\sqrt n}o\left(\frac 1{\sqrt n}\right)\right)\\ &=&\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right). \end{eqnarray*}
3. Notons $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$, $v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$, $w_n=-\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$. Notons $U_n$, $V_n$, $W_n$ leurs sommes partielles respectives. Alors $(V_n)$ est convergente (par le critère des séries alternées), $(W_n)$ est divergente (puisque $w_n\sim\frac{-1}n$). Donc $(U_n)$ est somme de d'une suite convergentes et d'une suite divergente. Elle est donc divergente. Autrement dit, la série de terme général $u_n$ est divergente.
4. Bien que $\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}\sim_{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$, l'une des deux séries converge et l'autre diverge. Dans le théorème de comparaison de deux séries, on ne peut donc pas se passer de l'hypothèse que les termes généraux gardent le même signe. Une autre conclusion est que $u_n=(-1)^n a_n$, avec $a_n\geq 0$, $(a_n)$ tend vers 0, et pourtant $\sum_n u_n$ diverge. Dans le critère des séries alternées, on ne peut donc pas se passer de l'hypothèse $(a_n)$ décroit.