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Décomposition polaire - Bibm@th.net

Exercice 1 - Décomposition polaire ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Un endomorphisme symétrique $u\in S(E)$ est dit positif si pour tout $x$ de $E$, $(u(x),x)\geq 0$. Il est dit défini positif si pour tout $x$ de $E$ non nul, $(u(x),x)>0$. On notera $S^+(E)$ l'ensemble des endomorphismes symétriques positifs, et $S^{++}(E)$ l'ensemble des endomorphismes symétriques définis positifs.

Soit $u\in S(E)$. Montrer que $u$ appartient à $S^+(E)$ si et seulement si ses valeurs propres sont positives ou nulles. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres de $u\in S(E)$ pour que $u\in S^{++}(E)$.
Soit $u\in S^+(E)$, $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ ses valeurs propres (distinctes), et $E_i=\ker(u-\lambda_i Id_E)$. On définit $v_i$ par $v_i(x)=\sqrt{\lambda_i} x$ si $x\in E_i$, et $v_i(x)=0$ si $x\in E_i^\perp$. On note enfin $v=v_1+\dots+v_p$. Justifier que $v^2=v\circ v=u$, et que $v$ est positif.
Soit $w$ un autre élément de $S^+(E)$ tel que $w^2=u$.
1. Montrer que $wu=uw$.
2. En déduire que $w(E_i)\subset E_i$.
3. Soit $w_i$ l'endomorphisme induit par $w$ sur $E_i$. Vérifier que $w_i$ est symétrique positif, puis diagonaliser $w_i$.
4. En déduire que $w=v$.
Soit $f\in GL(E)$.
1. Montrer que $f^*\circ f\in S^{++}(E)$.
2. Montrer qu'il existe un unique couple $(h,g)\in O(E)\times S^{++}(E)$ tel que $f=h\circ g$. Cette factorisation s'appelle décomposition polaire de $f$.

Indication

Corrigé

Puisque $u$ est symétrique, il existe une base orthonormée $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ de vecteurs propres, correspondant aux valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Prenant $x\in E$, $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$, on a $$(u(x),x)=\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2.$$ Si toutes les valeurs propres sont positives, on en déduit que cette quantité est positive. D'autre part, s'il existe une valeur propre strictement négative, par exemple $\lambda_1$, alors $(u(e_1),e_1)=\lambda_1<0$, et $u$ n'est pas positif. Pour que $u$ soit défini positif, il est nécessaire et suffisant que toutes les valeurs propres de $u$ soient strictement positives. Le raisonnement est identique.
D'après le théorème spectral, les $E_i$ sont en somme directe orthogonale. Ainsi, si $x\in E_i$, on a $v_j(x)=0$ si $j\neq i$ et $v_i(x)=\sqrt{\lambda_i}x$. Ainsi, $v(x)=v_1(x)+\dots+v_n(x)=\sqrt{\lambda_i}x$, et $v^2(x)=\lambda_i x$. Puisque $E_1\oplus\dots\oplus E_n=E$, la relation est vraie sur $E$ tout entier par recollement. D'autre part, $v$ est symétrique positif, car chacun des $v_i$ est symétrique positif.
1. On a : $w\circ u=w\circ w^2=w^3=w^2\circ w=u\circ w$.
2. Il est bien connu que si deux endomorphismes commutent, le noyau de tout polynôme en l'un est stable par l'autre. En particulier, les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $w$.
3. $w_i$ est un endomorphisme symétrique positif, car c'est la restriction à un sous-espace stable d'un endomorphisme positif. $w_i$ est donc diagonalisable dans une base orthonormale. En outre, si $\mu$ est une de ses valeurs propres, associée au vecteur propre $y$, on a $w(y)=\mu y\implies w^2(y)=\mu^2 y=\lambda_i y$. Il vient $\mu=\sqrt{\lambda_i}$, puisque $\mu$ est positif. Ainsi, $w_i=\sqrt{\lambda_i}Id_{E_i}$.
4. Ainsi, $w$ coïncide avec $v$ sur chaque $E_i$, et puisque $E$ est somme directe des $E_i$, $w=v$.
1. On remarque d'abord que $f^*\circ f$ est symétrique. De plus, si $x\neq 0$, on a : $$(f^*(f(x)),x)=(f(x),f(x))>0,$$ car $f(x)\neq 0$ puisque $f$ est inversible.
2. Prouvons d'abord l'unicité, en supposant que $f=h_1\circ g_1=h_2\circ g_2$. On a nécessairement $f^*\circ f=g_1^2=g_2^2$. Puisque $g_1$ et $g_2$ doivent être symétriques positifs, le résultat des questions précédentes prouve que $g_1=g_2$. On en déduit, en inversant $g_1$ et $g_2$, que $h_1=h_2$. Ce raisonnement nous guide alors pour l'existence. Posons $g$ la racine carré positive de $f^*\circ f$, qui est donnée par les questions précédentes. Il faut remarquer que $g$ est définie positive, car $g$ est inversible puisque $g^2$ l'est. On pose ensuite $h=f\circ g^{-1}$, de sorte que $h^*\circ h=g^{-1}f^*\circ f g^{-1}=g^{-1}g^2g^{-1}=Id_E$, ce qui prouve que $h$ est un endomorphisme orthogonal.