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Moyenne de Ces\`aro - Bibm@th.net

Exercice 1 - Moyenne de Ces\`aro [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle. On pose $S_n=\frac{u_1+\dots+u_n}{n}$.
  1. On suppose que $(u_n)$ converge vers 0. Soient $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N^*$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq\veps$.
    1. Montrer qu'il existe une constante $M$ telle que, pour $n\geq n_0$, on a $$|S_n|\leq \frac{M(n_0-1)}{n}+\veps.$$
    2. En déduire que $(S_n)$ converge vers 0.
  2. On suppose que $u_n=(-1)^n$. Que dire de $(S_n)$? Qu'en déduisez-vous?
  3. On suppose que $(u_n)$ converge vers $l$. Montrer que $(S_n)$ converge vers $l$.
  4. On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Montrer que $(S_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé