Enoncé Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. On note $\lambda_1\leq \lambda_2\leq\dots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$, comptées avec leur multiplicité. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a
$$\lambda_1 \|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda_n \|x\|^2.$$
Corrigé Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres associée aux valeurs propres $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. Écrivons $x\in E$ sous la forme $x=x_1e_1+\dots x_n e_n$, de sorte que
$$u(x)=\lambda_1 x_1 e_1+\dots+\lambda_n x_n e_n.$$
Alors on a
$$\|x\|^2=x_1^2+\dots+x_n^2$$
et
$$\langle u(x),x\rangle=\lambda_1x_1^2+\dots+\lambda_n x_n^2.$$
Puisque, pour tout $i=1,\dots,n$, on a $\lambda_1\leq\lambda_i\leq\lambda_n$, on a donc
$$\lambda_1 \|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle\leq \lambda_n \|x\|^2.$$