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Base orthonormale, polynômes et projection - Bibm@th.net

Exercice 1 - Base orthonormale, polynômes et projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr_3[X]$ muni du produit scalaire suivant : $$(a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3,b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3)=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$ On pose $H$ l'hyperplan $H=\{P\in E;\ P(1)=0\}$.
  1. Déterminer une base de $H$.
  2. Déterminer une base orthonormale de $H$.
  3. En déduire la projection orthogonale de $X$ sur $H$, puis la distance de $X$ à $H$.
Indication
Corrigé